Ложный вывод монте-карло.

gambler"s fallacy) О. и., или ложный вывод Монте-Карло, отражает распространенное неправильное понимание случайности событий. Предположим, что монета подбрасывается много раз подряд. Если выпадает подряд 10 "орлов" и если эта монета яв-ся "правильной", для большинства людей выглядело бы интуитивно очевидным, что выпадение "решки" запаздывает. Однако такой вывод является ложным. Эту ошибка получила в специальной литературе название "отрицательный эффект новизны" (negative recency effect) и состоит в тенденции к предсказанию скорого прекращения часто происходившего в последнее время события. Она основана на вере в локальную репрезентативность (т. е. на уверенности в том, что последовательность случайно возникающих событий будет носить характеристики случайного процесса даже когда она оказывается короткой). Т. о., в соответствии с этим ошибочным представлением, генератор случайных событий, напр., подбрасывание монеты, должен приводить к исходам, в к-рых - даже по прошествии короткого времени - не будет наблюдаться значительного преобладания того или другого из возможных исходов. Если выпадает серия одинаковых исходов, возникает ожидание того, что случайная последовательность скорректирует себя сама в ближайшем будущем, и отклонение в одном направлении тем самым подвергнется обязательному уравновешению отклонением в другом. Однако случайно генерируемые последовательности, в особенности если они оказываются сравнительно короткими, оказываются совершенно нерепрезентативными производящему их случайному процессу. Ошибка игрока - это нечто большее, чем просто отражение обычного статистического невежества, поскольку она может наблюдаться в частной жизни даже искушенных в статистике людей. Она отражает два аспекта челов. когнитивной функции: а) сильную и неосознанную мотивацию людей к тому, чтобы находить порядок во всем, что они вокруг себя наблюдают, даже если наблюдаемая ими последовательность исходов возникает в результате случайного процесса, б) всеобщую челов. склонность игнорировать основанные на расчетах оценки вероятностей, отдавая предпочтение интуиции. Хотя логика может убеждать нас в том, что случайный процесс не контролирует своих исходов, наша интуитивная реакция может быть очень сильной и временами подавлять логику. Исследовавший сравнительную силу логического и интуитивного мышления Рид утверждает, что последнее зачастую оказывается более принудительным чем первое, вероятно, по той причине, что подобные умозаключения приходят на ум внезапно, следовательно, не поддаются логическому анализу и часто сопровождаются сильным ощущением своей правоты. В отличие от принципиальной невозможности отследить процесс, посредством к-рого находятся такие интуитивные "решения", процесс логического рассуждения открыт для анализа и критики. Поэтому люди управляют логическим мышлением, а от интуитивного мышления они просто получают результаты, к-рые наполняют последнее сильным ощущением чувства правоты. О. и. наиболее распространена в ситуации, когда исходы генерируются чисто случайно. Если в развитии событий участвует некоторый фактор мастерства, чаще наблюдается положительный эффект новизны (positive recency effect). Наблюдатель скорее всего будет рассматривать серию успехов (напр., игрока в бильярд) как свидетельство его мастерства, и будет выстраивать свои прогнозы последующих исходов скорее в положительном, чем в отрицательном направлении. Даже бросание костей может приводить к положительному эффекту новизны в той степени, в к-рой индивидуум убежден, что на исход события каким-то образом влияет "искусство" бросающего. См. также Эффект Барнума, Поведение игроков, Статистический вывод Дж. Элкок

Что такое парадокс? Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону. Наиболее ярко выраженной формой парадокса является антиномия – рассуждение, которое доказывает равносильность утверждений, одно из которых представляет собой явное отрицание другого. И особого внимания заслуживают именно парадоксы в наиболее точных и строгих науках, таких как, например, логика.

Логика, как известно, является абстрактной наукой. В ней нет места экспериментам и каким-либо конкретным фактам в обычном их понимании; она всегда предполагает анализ реального мышления. Но расхождения в теории логики и практике реального мышления всё же имеют место быть. И самым явным подтверждением этому служат логические парадоксы, а иногда даже логическая антиномия, олицетворяющая собой противоречивость самой логической теории. Именно это и объясняет значение логических парадоксов и то внимание, которое уделяется этим парадоксам в логической науке. Ниже мы познакомим вас с самыми яркими примерами логических парадоксов. Эта информации будет непременно интересна как тем, кто углублённо изучает логику, так и тем, кто просто любит узнавать новую и интересную информацию.

Начнём же мы с парадоксов, составленных древнегреческим философом Зеноном Элейским, жившим в V веке до н.э. Его парадоксы получили название «Апории Зенона» и даже имеют свою трактовку.

Апории Зенона

Апории Зенона являются внешне парадоксальными рассуждениями о движении и множестве. Всего современниками Зенона было упомянуто свыше 40 апорий (кстати, слово «апория» с древнегреческого языка переводится как «трудность») его авторства, однако до нашего времени дошли только девять из них. При желании вы можете ознакомиться с ними в трудах Аристотеля, Диогена Лаэртского, Платона, Фемистия, Филопона, Элия и Сипмликия. Мы же приведём в пример три самые известные.

Ахиллес и черепаха

Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в десять раз превышающей скорость черепахи, и находится от неё на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет ещё сотню, черепаха успеет сделать десять и т.д. И этот процесс будет продолжаться бесконечно долго и Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Дихотомия

Для того чтобы преодолеть определённый путь, нужно изначально преодолеть его половину, а чтобы преодолеть половину, нужно преодолеть половину этой половины и т.д. Исходя из этого, движение никогда так и не начнётся.

Летящая стрела

Летящая стрела всегда остаётся на месте, т.к. в любой момент времени она находится в состоянии покоя, а поскольку она в состоянии покоя в любой момент времени, она находится в состоянии покоя всегда.

Здесь же будет уместно привести ещё один парадокс.

Парадокс лжеца

Авторство этого парадокса приписывается древнегреческому жрецу и провидцу Эпимениду. Парадокс звучит так: «То, что я в данный момент говорю — ложь», т.е. выходит: либо «Я лгу», либо «Моё высказывание — ложно». Это значит, что если высказывание правдиво, то, основываясь на его содержании, оно является ложью, но если это высказывание изначально ложно, то его и утверждение — ложь. Получается, ложно, что это высказывание – ложь. Следовательно, высказывание правдиво – это вывод возвращает нас к началу наших рассуждений.

В наше время парадокс лжеца рассматривается в качестве одной из формулировок парадокса Рассела.

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела был открыт в 1901 году британским философом Бертраном Расселом, а позже его независимо переоткрыл немецкий математик Эрнст Цермело (иногда этот парадокс называют «парадоксом Рассела-Цермело»). Данный парадокс демонстрирует противоречивость логической системы Фреге, в которой математика сводится к логике. У парадокса Рассела есть несколько формулировок:

• Парадокс всемогущества – способно ли всемогущее существо создать что-либо, что может ограничить его всемогущество?
• Допустим, какая-то библиотека поставила задачу составить один большой библиографический каталог, в который должны входить все и лишь те библиографические каталоги, в которых не содержится ссылок на самих себя. Вопрос: нужно ли включить в этот каталог ссылку на него?
• Например, в какой-то стране вышел закон о том, что мэрам всех городов запрещено жить в своём городе, и разрешено жить только в «Городе мэров». Где, в таком случае, будет жить мэр этого города?
• Парадокс брадобрея – в деревне только один брадобрей, и ему приказано брить всех, кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется. Вопрос: кто должен брить брадобрея?

Не менее интересны и занятны следующие парадоксы.

Парадокс Бурали-Форти

Предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.

Парадокс Кантора

Предположение о возможности множества всех множеств может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет и теория, согласно которой возможно построение такого множества.

Парадокс Гильберта

Идея о том, что если все номера в гостинице с бесконечным количеством номеров заняты, в неё в любом случае можно поселить ещё людей, и их число может быть бесконечным. В этом парадоксе объясняется, что законы логики абсолютно неприемлемы к свойствам бесконечности.

Ложный вывод Монте-Карло

Вывод о том, что, играя в рулетку, можно смело ставить на красный цвет, если чёрный выпал десять раз подряд. Данный вывод считается ложным по той причине, что, согласно теории вероятностей, на наступление любого последующего события не оказывает никакого влияния событие, ему предшествующее.

Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена

Вопрос о том, способны ли развивающиеся вдали друг от друга процессы и события оказывать друг на друга влияние? К примеру, воздействует ли каким-либо образом рождение в отдалённой галактике сверхновой звезды на погоду в Москве? В качестве ответа можно привести следующее: исходя из законов квантовой механики, такое влияние невозможно по причине того, что как скорость света, так и скорость переноса информации являются конечными величинами, а Вселенная является бесконечной.

Парадокс близнецов

Вопрос: будет ли близнец-путешественник, вернувшийся из космического странствия на сверхсветовом звездолёте моложе своего брата, остававшегося всё это время на Земле? Если исходить из теории относительности, то на Земле (по земному течению времени) прошло больше времени, чем в звездолёте, летящем со сверхсветовой скоростью, а значит, близнец-путешественник будет моложе.

Парадокс убитого дедушки

Представьте, что вы оказались в прошлом и убили своего дедушку до его знакомства с вашей бабушкой. Следует вывод, что вы не появитесь на свет и не сможете вернуться в прошлое, чтобы убить дедушку. Представленный парадокс наглядно демонстрирует невозможность путешествий в прошлое.

Парадокс предопределения

К примеру, человек оказывается в прошлом, имеет половой контакт со своей прабабушкой и зачинает её сына, т.е. своего деда. Это становится причиной череды потомков, включая родителей этого человека, а также его самого. Получается, что если бы этот человек не совершил путешествие в прошлое, он бы вообще никогда не появился на свет.

Это всего лишь несколько логических парадоксов, которые занимают сегодня умы многих людей. Пытливому уму не составит труда отыскать ещё не один десяток подобных (например, ). Изучению, опровержению или доказательству каждого из них можно посвятить немалое количество времени и сил. И, вполне вероятно, по поводу каждого парадокса у вас могут сформироваться свои личные оригинальные умозаключения. Но это и говорит нам о том, что, несмотря на преобладание в нашей жизни законов логики и причинно-следственных связей, не всё в нашей жизни зависит от них. Порой аналогичные логическим парадоксам противоречия возникают в повседневной жизни каждого человека. В любом случае, это прекрасная пища для ума и повод для размышлений.

Кстати, касаемо размышлений: на тему логических парадоксов есть очень интересная книга под названием «Гёдель, Ешер и Бах». Её автором является американский физик и информатик Даглас Хофштадтер.

Уважаемые читатели, было бы замечательно, если бы в своих комментариях вы привели несколько знакомых вам примеров логических парадоксов. А также нам будет интересно и ваше мнение по поводу значения логики в нашей жизни — Проголосуйте за одно из расположенных ниже утверждений.

Ошибка игрока (gambler"s fallacy)

О. и., или ложный вывод Монте-Карло, отражает распространенное неправильное понимание случайности событий. Предположим, что монета подбрасывается много раз подряд. Если выпадает подряд 10 «орлов» и если эта монета яв-ся «правильной», для большинства людей выглядело бы интуитивно очевидным, что выпадение «решки» запаздывает. Однако такой вывод является ложным.

Эту ошибка получила в специальной литературе название «отрицательный эффект новизны» (negative recency effect) и состоит в тенденции к предсказанию скорого прекращения часто происходившего в последнее время события. Она основана на вере в локальную репрезентативность (т. е. на уверенности в том, что последовательность случайно возникающих событий будет носить характеристики случайного процесса даже когда она оказывается короткой). Т. о., в соответствии с этим ошибочным представлением, генератор случайных событий, напр., подбрасывание монеты, должен приводить к исходам, в к-рых - даже по прошествии короткого времени - не будет наблюдаться значительного преобладания того или другого из возможных исходов. Если выпадает серия одинаковых исходов, возникает ожидание того, что случайная последовательность скорректирует себя сама в ближайшем будущем, и отклонение в одном направлении тем самым подвергнется обязательному уравновешению отклонением в другом. Однако случайно генерируемые последовательности, в особенности если они оказываются сравнительно короткими, оказываются совершенно нерепрезентативными производящему их случайному процессу.

Ошибка игрока - это нечто большее, чем просто отражение обычного статистического невежества, поскольку она может наблюдаться в частной жизни даже искушенных в статистике людей. Она отражает два аспекта челов. когнитивной функции: а) сильную и неосознанную мотивацию людей к тому, чтобы находить порядок во всем, что они вокруг себя наблюдают, даже если наблюдаемая ими последовательность исходов возникает в результате случайного процесса, б) всеобщую челов. склонность игнорировать основанные на расчетах оценки вероятностей, отдавая предпочтение интуиции. Хотя логика может убеждать нас в том, что случайный процесс не контролирует своих исходов, наша интуитивная реакция может быть очень сильной и временами подавлять логику. Исследовавший сравнительную силу логического и интуитивного мышления Рид утверждает, что последнее зачастую оказывается более принудительным чем первое, вероятно, по той причине, что подобные умозаключения приходят на ум внезапно, следовательно, не поддаются логическому анализу и часто сопровождаются сильным ощущением своей правоты. В отличие от принципиальной невозможности отследить процесс, посредством к-рого находятся такие интуитивные «решения», процесс логического рассуждения открыт для анализа и критики. Поэтому люди управляют логическим мышлением, а от интуитивного мышления они просто получают результаты, к-рые наполняют последнее сильным ощущением чувства правоты.

О. и. наиболее распространена в ситуации, когда исходы генерируются чисто случайно. Если в развитии событий участвует некоторый фактор мастерства, чаще наблюдается положительный эффект новизны (positive recency effect). Наблюдатель скорее всего будет рассматривать серию успехов (напр., игрока в бильярд) как свидетельство его мастерства, и будет выстраивать свои прогнозы последующих исходов скорее в положительном, чем в отрицательном направлении. Даже бросание костей может приводить к положительному эффекту новизны в той степени, в к-рой индивидуум убежден, что на исход события каким-то образом влияет «искусство» бросающего.

См. также Эффект Барнума, Поведение игроков, Статистический вывод

Наконец-то дошли руки и прочие органы до следующей статьи.

Итак, знакомьтесь, следующий гость в нашей студии - Ошибка игрока или ложный вывод Монте-Карло. Не мной придуманный термин, хоть и звучит как-то попсово, без заумных слов, свойственным высоколобым дядькам. Это искажение очень просто в понимании, тем не менее обитает оно повсеместно, как в жиденьком сизом веществе люмпенов, дошедших в изучении алфавита до буквы Ё, так и в густых зарослях изюма умудренных опытом с кучей знаний седовласых мудрецов. Вот что говорит Вики по этому поводу:

Оши́бка игрока́ (англ. gambler’s fallacy) или ложный вывод Монте-Карло отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность желаемого исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события.

Например, в случае с подбрасыванием монеты много раз подряд вполне может произойти такая ситуация, что выпадет 9 «решек» подряд. Если монета «нормальная», то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения орла будет больше: сложно поверить, что «решка» может выпасть десятый раз подряд. Тем не менее, такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по-прежнему остаётся 1/2.

Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» десять раз подряд. Последняя будет равна . Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из «орлов» и «решек» при 10 бросках монеты.

Что означает это в переводе на наш, пихарско-трейдерский язык?

Самый простой и известный всем пример - классический догон флетом. Т.е. попан пхает тб2.5 неважно в каком матче по кефу +-2, сливается, удваивает ставку на другой матч тб 2.5 с кефом около двойки, сливается, снова удваивает ставку и т.д. Ну или Мартингейл, зовите как хотите, не суть. И если вы предложите ему на третьей-четвертой итерации пихануть тотал меньше, он наверняка вознегодует с мегааргументом "Ты че, ведь уже было 3 тм, щас вероятность тб выше". И окажется совершенно прав. Но лишь в своей воображаемой вселенной, в реале все несколько иначе. Вероятность в будущем событии при прочих равных никак на зависит от прошлых, хоть одного хоть миллиона. Аксиома.

На счет миллиона. Недавно беседовали с кентом на эту тему (¡Hola senor Alejandro!). В какой-то миг абсолютно адекватно воспринимающий этот мир человек на простой вопрос "До этого миллион раз выпал орел. Какова вероятность что выпадет решка?" отвечает что чуть-чуть, но все же выше. Мы быстро устранили этот момент, но ситуация показательная.

Отошел от темы. Так что же делать человеку, который вляпался в догон (жестким противником которого я являюсь)? Самое главное - не думать красное или черное, тотал больше или тотал меньше, рыба или курица, от тебя ничего не зависит. Просто пхни на любой исход и уповай перед телевизором, а лучше займись спортом, сексом, рыбалкой, нужное подчеркнуть. Так меньше сожжешь калорий от "неправильного выбора", которого, по сути-то и не было. Сейчас математика (боги, фортуна, мастюшка, называй как хочешь) повернулась к тебе лицом или жопой, и с этим ничего не поделаешь. Не нужно догонять семь итераций тотал больше, смело пхай тотал меньше, это никак не влияет на результат. Точнее влияет лишь в том, что догон в конечном итоге положит тебя на лопатки, математику не обмануть, маржа сделает все за тебя. Много лет наблюдал за топиками пихарей на бюве, среди успешных на солидной дистанции не было ни одного догонщика, но сейчас не об этом.

Возьмем другой пример. Одно время общался онлайн в торговые сессии с одним всем хорошо известным конным трейдером, не буду озвучивать его имя. Так вот, он тоже попался в сети этой когнитивной ошибки. Ход его мыслей протекал по следующему руслу: 3 раза подряд пришла первой кобыла-фаворит, значит следующий забег фава нужно лэить. Победила - хсн, лэим фава в следующем забеге с удвоенной яростью, далее утроенной и т.п.. И эта "система" давала профит на каком-то отрезке времени. Но в один херовый момент произошло неизбежное: математика его победила, он вляпался в такую сумму, что надолго покинул наши стройные, хоть и не стабильные ряды. Он не мог поверить что такое возможно, ему потребовалось много времени чтобы это принять, понять и переосмыслить, поймал такой депресняк, что массаж австралийскими коалами ему бы не помог в тот момент. Думаю, это не единичный случай.

Был у меня случай когда я сам вляпался в подобное. Смутно помню детали, дело давнее. Чемпионат Италии давнешний - унылое зрелище, катеначчо, ничьи - частые гости. В одном из туров не было ни одной ничейки, и мой неокрепший мозг подсказывает, что в следующем туре тенденция вернется. Тупо взял ничейки во всех матчах и... мегапосос, снова ни одной ничьей. Но я же крутой перец, меня так просто не возьмешь, в следующем туре снова беру нички удвоенной ставкой (привет Иллюзия контроля) - и лишь одна ничья во всем туре. По классике жанра я должен был пихать и отбиваться, ну сейчас-то точно все будет ништяк. Но реальность макнула поглубже, у меня тупо закончились деньги. Отвечу на ваш вопрос: я не знаю что было в следующем туре, не смотрел резы, думал сойду с ума если увижу океан ничеек. Дорогой урок, но как оказалось, весьма полезный.

Буду завершать, 3 часа ночи. Загадаю загадку для закрепления, самостоятельного анализа и улучшения впитывания вышесказанного. Какова вероятность что Барселона не выиграет дома у, скажем, Малаги два раз подряд? Кеф на п1 - 1.2. И как скоро это может наступить? Первому ответившему верно с меня ништячок, скажем, напишу статью на выбранную им тему.

Итак, резюмируя. Не смотрите что было ранее, это не имеет значения. Если посмотрели - на делайте выводов, они субъективны. Сделали выводы - не стройте из них предсказаний, они недостоверны. Все же построили предсказание - будьте готовы легко его изменить, не цепляйтесь за него как за единственно верное (одна из моих любимых когнитивных ошибок, поговорим о ней в другой раз). Если вцепились и не можете отпустить - сходите в завод, устройтесь в такси, доставщиком пиццы, выберите любое другое кайло, игры с вероятностями пока, увы, не для вас. Но не отчаивайтесь, читайте, работайте над собой, улучшайте понимание процессов, происходящих в вашей башке, побурите свой мозг. Пройдя нефтеносные и угольные слои, рано или поздно вы добурите до состояний разума, не столь закостенелых и спрессованных, и когда-нибудь, с некоей долей вероятности, вы сможете вновь ступить на витиеватую тропинку некайлового бабла.

176 Гя. 1К парадокса в основснняг гсорнн вероятностей

д) Литература

Вапась 5., ТагьЬ1 А. "5пг 1а йесогпроьщоп йеь епьегпыеь йе рогп1ь еп рагпеь геьрес11непгепг сопигпеп1еь", Рннй. Мвй., 6, 244 - 277, 11924)

51гогпЬеги К. "Тье ВапасЬ - Тагь21 рагайох", Тлв Лгпсысвп Май. Мопй1у, 66, 161 - 160, 11979).

3. Парадокс метода Монте-Карло

а) История парадокса

Метод Монте-Карло - численный метод, основанный на случайной выборке. При решении вычислительных задач часто можно найти подходящую вероятностную модель, в которую входит искомое неизвестное число. Затем для решения задачи много раз наблюдаются исходы случайных экспериментов, включенных в вероятностную модель, с тем чтобы с заданной точностью 1на основе наблюденных значений) можно было оценить искомое число. Хотя идея этого метода довольно стара, его настоящее применение началось лишь с появлением компьютеров, когда Е Нейман, С. Улам и Э. Ферми использовали метод Монте-Карло для приближенного решения трудных вычислительных задач, связанных с ядерными реакциями. Название метода объясняется тем, что в нем применяются последовательности случайных чисел, в качестве которых могли бы выступать регулярно объявляемые результаты игр, проводимых в казино, например, в Монте-Карло. Однако на практике случайные числа, необходимые для метода, выдает сам компьютер. Следовательно, симпатичное название 1его впервые использовали в 1949 г Н. Метрополис и С. Улам) вводит в заблуждение 1метод вряд ли поможет выиграть в Монте-Карло). Идея метода МонтеКарло впервые появилась в 1777 г. в работе Бюффона 1см. 1. 11), где излагался метод оценки числа п путем бросания иголки наугад. Предположим, что на столе проведены параллельные прямые на единичном расстоянии друг от друга, и на стол наугад бросается иголка длиной Е (1, при этом угол между прямыми и иглой и расстояние от середины иглы до ближайшей прямой являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными соответственно на 10,2п) и 1 - 1/2, 1/2). Тогда игла пересечет какую-нибудь прямую с вероятностью 2ь/п. Если проводить эксперимент много раз, то относительная частота пересечений будет очень близка к теоретической вероятности 2ь/п, и таким путем можно вычислить значение п. Этот метод нахождения приближенного значения и имеет чисто теоретическое значение, так как для получения двух точных знаков после запятой нужно совершить несколько тысяч бросаний. 1С помощью другого метода можно определить мил-

8. Парадокс метода Монте-Карло

лион знаков числа п, см. статью Г. Мила.) Задача Бюффона об игле показывает, что метод Монте-Карло не подходит для очень точных вычислений. Даже для получения результатов с точностью до двух или трех знаков требуется проведение тысяч или миллионов экспериментов. Следовательно, метод Монте-Карло применим только тогда, когда проведение экспериментов моделируется компьютером. Вместо бросания иглы выдаются два независимых случайных числа, которые определяют положение 1предполагаемой) иглы и произошло ли ее пересечение с 1предполагаемыми) прямыми. Поскольку компьютер способен выдавать несколько миллионов чисел в минуту, моделирование миллионов экспериментов не займет слишком много времени; без компьютера для этого потребовалась бы вся жизнь.

Теория построения случайных чисел на компьютерах превратилась в важное направление в математике. Вместо настоящих случайных чисел 1которые возникают в ходе случайных физических процессов, например, в ходе радиоактивного распада) популярными становятся псевдослучайные числа, конструируемые с помощью детерминированных вычислительных алгоритмов.

В связи с нсевдослучайными числами возникает следующий вопрос. В каком смысле их можно считать случайными, если они получены с помощью детерминированных 1неслучайных) алгоритмов? После статьи фон Мизеса, вышедшей в 1919 г., некоторые выдающиеся математики исследовали эту проблему. 1Философскими аспектами проблемы занимались П. Киршенманн, П. Макшейн и другие.)

б) Парадокс

В 1965 - 1966 гг. Колмогоров и Мартин-Лёф представили понятие случайности в новом свете. Они определили, когда последовательность, состоящую из 0 и 1, можно считать случайной. Основная идея состоит в следующем. Чем сложнее описать последовательность 1т. е. чем длиннее «самая короткая» программа, конструирующая эту последовательность), тем более случайной ее можно считать. Длина «самой короткой» программы, естественно, различна для разных компьютеров. По этой причине выбирают стандартную машину, называемую машиной Тьюринга. Мерой сложности последовательности является длина наиболее короткой программы на машине Тьюринга, которая генерирует эту последовательность. Сложность - мера иррегулярности. Последовательности, длина которых Л1, называются случайными, если их сложность близка к максимальной. 1Можно показать, что большинство последовательностей именно таковы.) МартинЛёф доказал, что эти последовательности можно считать случайными, так как они удовлетворяют всем статистическим те-