Задачи для самостоятельного решения. Способ вращения

. Конус. Основные понятия.

Определение . Конусом называется геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, относительно которого происходит вращение – ось конуса, численно равная его высоте; второй катет – радиус основания; гипотенуза – образующая (образует при вращении боковую поверхность конуса).

. Усечённый конус.

. Объём и площадь поверхности конуса.

Здесь R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, H – высота, l – образующая.

Из бумаги свёрнут кулёк, имеющий форму конуса с радиусом основания 5 см и высотой 10 см. Определите площадь поверхности кулька.

Образующая конуса равна 2 см, а радиус основания – 1 см. Объясните, больше или меньше 6 см 2 площадь его полной поверхности.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а образующая – 4;

б) радиус основания равен 3, а высота - 4;

в) радиус основания равен 4, а угол наклона образующей к основанию равен 30 0 .

Найдите объём конуса, если:

а) радиус его основания равен 2, а его высота равна 3;

б) радиус его основания равен 3, а образующая равна 5;

в) радиус основания равен 2, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°;

г) радиус основания равен 3, а площадь осевого сечения равна 12.

a и b (a < b ) вращается сначала вокруг одного из них, а затем вокруг другого. Сравните:

а) площади боковых поверхностей полученных конусов;

б) площади полных поверхностей получившихся конусов.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины 2 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите площадь получившейся поверхности.

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Прямоугольный треугольник с катетами a и b вращают вокруг гипотенузы. Найдите объём полученного тела вращения.

Параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см и углом 60 0 вращают вокруг прямой, содержащей большую сторону параллелограмма. Найдите площадь получившейся поверхности.

Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объём конуса, если его высота равна H.

Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

Рассматривается конус с радиусом основания 5 см и образующей 3см. Через точку образующей, находящуюся на расстоянии 1 см от вершины, проведено сечение, параллельное основанию конуса. Выполните последовательно такие задания:

а) найдите площадь этого сечения;

б) найдите площадь боковой поверхности данного конуса;

в) найдите площадь боковой поверхности конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

г) найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, отсекаемого проведённой плоскостью;

д) найдите площадь полной поверхности этого усечённого конуса.

Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Площадь основания конуса равна 12 см², его высота – 6 см. Найдите площадь его сечения, параллельного основанию и проведённого:

а) через середину высоту;

б) на расстоянии 2 см от вершины конуса;

в) на расстоянии 4 см от вершины конуса.

Найдите объёмы конусов, у которых основаниями являются рассмотренные сечения, а вершиной – вершина данного конуса.

Площадь основания конуса равна 25 см², а высота равна 5 см. На расстоянии 1 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите объём усечённого конуса, отсекаемого проведённым сечением.

Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см³.

В усечённом конусе известны высота h , образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

§ 24. Тела вращения.

Цилиндр, конус и усечённый конус.

1. Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Определить объём и поверхность полученного тела.

2. Квадрат со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне и отстоит от неё на длину стороны. Требуется: 1) определить объём и поверхность полученного тела; 2) определить, в каком отношении объём, образуемый вращением квадрата, разделится поверхностью, которую опишет его диагональ.

3. Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендикуляра к стороне, проведённого через её конец. Как относятся между собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?

4. Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг стороны, а потом вокруг параллели к стороне, проведённой через вершину. Во второй раз получаются объём и поверхность, вдвое большие, чем в первый раз. Доказать.

5. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от неё на расстояние, равное апофеме треугольника. Определить объём и поверхность полученного тела.

6. Одна из сторон а равностороннего треугольника продолжена на равную ей длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. Определить объём и поверхность тела, которое получится, если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.

7. Высота равностороннего треугольника продолжена за вершину на свою длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. По стороне а определить объём и поверхность тела, образуемого вращением треугольника вокруг этого перпендикуляра.

8. Стороны квадрата служат сторонами равносторонних треугольников, построенных снаружи, и образовавшаяся фигура вращается вокруг прямой, соединяющей наружные вершины двух противоположных треугольников. Сторона квадрата равна а . Определить объём и поверхность полученного тела.

9. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тел, образуемых его вращением: 1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.

10. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг стороны.

11. а вращается вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту вершину. Определить объём и поверхность тела вращения.

12. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Определить объём и поверхность полученного тела.

13. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Определить объём и поверхность тела вращения.

14. Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведённого через вершину большего острого угла. Определить объём и поверхность тела вращения.

15. Треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела.

16. Треугольник со сторонами 8 см и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпендикулярно к меньшей из его сторон. Определить объём и поверхность тела вращения.

17. Объёмы, образуемые вращением параллелограмма последовательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать.

18. Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг стороны. Определить поверхность полученного тела.

19. 1) Ромб со стороной а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определить объём и поверхность тела вращения.

2) Такая же задача для угла в 45°.

20. Равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен 45° и боковая сторона равна меньшему основанию, вращается вокруг боковой стороны. По её длине а определить объём и поверхность тела вращения.

21. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её нижним основанием служит диаметр этого круга, а боковая сторона стягивает дугу в 30°. Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением этой трапеции вокруг радиуса, перпендикулярного к её основанию.

22. АВ - диаметр данной полуокружности радиуса R; ВС-дуга, содержащая 60°. Проведены хорда АС и касательная CD, где D - точка на продолжении диаметра АВ. Определить объём и поверхность тела, получаемого при вращении треугольника ACD вокруг оси AD.

Шар и его части.

23. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 60°, и точка С соединена с А. Определить объём и поверхность тела, которое образуется, если вращать вокруг АВ фигуру, ограниченную диаметром АВ, хордой АС и дугой ВМС.

24. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 45°, из точки С проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра АВ в точке D. Фигура, ограниченная прямыми BD и CD и дугой ВМС, вращается вокруг BD. Определить объём и поверхность полученного тела.

25. О - центр дуги АМС радиуса R; В-точка на продолжении радиуса ОА; ВС-касательная к дуге АМС; CD - перпендикуляр на радиус ОА. Фигура вращается вокруг оси ОВ. Определить расстояние OD, если поверхность, образуемая вращением дуги АМС, делит пополам объём, образуемый вращением треугольника ОСВ вокруг оси ОВ.

26. АМС, CND и DPB - последовательные трети полуокружности с диаметром АВ и центром О. Проведены радиусы ОС и OD и хорды АС и AD, и фигура вращается вокруг диаметра АВ. Доказать, что фигурами ACND и OCND будут описаны равные объёмы, составляющие каждый половину объёма шара.

27. Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Доказать, что полученный объём равен объёму шара с диаметром, равным хорде сегмента.

28. 1) АОВ - квадрант с центром О и радиусом R; АМС - дуга, содержащая 60°; AD- касательная, причём D точка её пересечения с продолжением радиуса ОС. Фигура, ограниченная отрезками AD и CD и дугой АМС, вращается вокруг радиуса ОВ. Определить объём и поверхность полученного тела.

2) Такая же задача для дуги АМС, равной 45°.

Теоремы Гюльдена.

29. Проверить обе теоремы Гюльдена для случаев вращения:

1) прямоугольника вокруг одной из его сторон;

2) ромба со стороной а и высотой h вокруг одной из его сторон;

3) правильного треугольника со стороной а вокруг оси, проходящей через вершину параллельно основанию;

4) прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

5) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.

30. Поперечное сечение железного кольца - квадрат со стороной а = 4 см; средний диаметр кольца d = 80 см и удельный вес его 8,6. Найти вес кольца.

31. Спасательный круг, поперечное сечение которого - окружность, можно рассматривать как тело, получившееся от вращения круга вокруг некоторой оси. Диаметр сечения d =12 см; внешний диаметр спасательного круга D = 75 см. Вычислить поверхность спасательного круга и его объём.

32. Паровозное депо имеет в плане вид полукольца (черт. 44), внутренний диаметр которого равен 20 м; ширина полукольца 9 м; в поперечном сечении депо имеет вид прямоугольной трапеции ABCD, параллельные стороны которой равны 4,25 м и 6,5 м. Найти объём депо.

33. Стороны треугольника 9 см, 10 см и 17 см. Треугольник вращается около большей своей высоты. Определить объём поверхность тела вращения.

34. Доказать, что объёмы, полученные при вращении треугольника вокруг основания и вокруг прямой, параллельной основанию проходящей через вершину треугольника, относятся как 1: 2.

Cтраница 2

Прямоугольные треугольники, образованные соответственно точками О, (а Ь) / 2, t и 0, (а а) / 2, t, собственно подобны.  

Прямоугольный треугольник с катетами 5 еж и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Определить объем и поверхность тела вращения.  

Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла.  

Прямоугольные треугольники подобны, если они имеют по равному острому углу.  

Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.  

Прямоугольный треугольник может иметь стороны, каждая из которых является целым числом. Набор трех целочисленных значений для сторон прямоугольного треугольника называется пифагоровой тройкой. Эти три стороны должны удовлетворять следующему соотношению: сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Используйте цикл for с тройной вложенностью, в котором просто перебираются все возможности. Это является примером вычисления с помощью грубой силы. Многим оно не приносит эстетического удовлетворения. Но есть много причин, по которым эти методы важны. Во-первых, при мощности вычислительной техники, возрастающей такими необыкновенными темпами, решения, для получения которых понадобились бы годы или даже столетия компьютерного времени при использовании технологий, применявшихся всего лишь несколько лет тому назад, теперь могут быть получены за часы, минуты или даже секунды. Современные микропроцессорные схемы могут обрабатывать более 100 миллионов операций в секунду. И в 90 - е годы, по всей вероятности, должны появиться микропроцессорные схемы, способные обрабатывать миллиард операций в секунду. Во-вторых, как вы узнаете из курсов по информатике для продолжающих обучение, существует большое число интересных задач, для которых не известны алгоритмические подходы, отличные от решения с помощью грубой силы.  

Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 см и 16 см, вращается вокруг гипотенузы.  

Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются целыми числами.  

Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вращается около большего катета.  

Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом а вращается вокруг оси, содержащей гипотенузу.  

Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину прямого угла параллельно гипотенузе.  

Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом 30 вращается вокруг гипотенузы.  

Прямоугольный треугольник перемещается в плоскости так, что вершины его острых углов скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым. Какую фигуру образуют вершины прямого угла этого треугольника.  

Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.

Основные правила построения

1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника .
2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h". На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f"". Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.

Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.

Алгоритм решения

1. Проводим фронтальную проекцию h"" горизонтали h. Она пересекает прямые a"" и b"" в точках 1"" и 2"". Определяем горизонтальные проекции 1" и 2" и через них проводим h".
2. Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O" лежит на пересечении прямой h" с перпендикуляром, проведенным из A" к h".
3. Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O"A" 0 . Для этого строим прямоугольный треугольник O"A"A" 0 , катет которого A"A" 0 равен расстоянию от A"" до h"".
4. Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O"A" в точке A" 1 . Соединяем A" 1 с точками 1" и 2". Искомый угол ϕ построен.

Рисуем

6.1. Пусть - правильная призма. Перенос задается вектором: а) 0,5АВ; б) АО, где О - центр нижнего основания. Нарисуйте образ призмы при этом переносе. Нарисуйте объединение и пересечение исходной и полученной призм.

6.2. Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который получается из данного в результате: а) центральной симметрии относительно середины высоты; б) зеркальной симметрии относительно плоскости, проходящей через середину высоты перпендикулярно к ней; в) поворота на 60° вокруг его высоты; г) поворота на 90" вокруг прямой, соединяющей середины его противоположных ребер. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного тетраэдров.

6.3. Дан куб. Нарисуйте куб, который получается из данного в результате: а) переноса на вектор, направленный по его диагонали, длиной в половину этой диагонали; б) центральной симметрии относительно точки, находящейся на его диагонали и делящей ее в отношении 2:1; в) зеркальной симметрии относительно плоскости, которая пересекает его по правильному шестиугольнику; г) поворота на 90" вокруг прямой, проходящей через середины двух параллельных ребер, не лежащих в одной грани. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кубов.

6.4. Нарисуйте тела, которые можно получить, вращая круг

6.5. Нарисуйте тела, которые получаются при вращении: а) куба вокруг ребра; б) куба вокруг диагонали; в) правильного тетраэдра вокруг ребра; г) конуса вокруг прямой, параллельной оси и проходящей вне его.

Планируем

6.6. Как найти объем и площадь поверхности фигур - объединений и пересечений - из задач 6.1, 6.2?

6.7. Как найти объем и площадь поверхности фигур из задачи 6.5?

Представляем

6.8. Может ли центр симметрии тела не принадлежать ему?

6.9. Два равных отрезка: а) параллельны; б) имеют ровно одну общую точку; в) скрещиваются. Каким движением можно один из них отобразить на другом?

6.10. Два отрезка симметричны друг другу относительно двух плоскостей. Какая получится фигура, если их концы последовательно соединить отрезками?

6.11. Через некоторую прямую проведены всевозможные плоскости. Данная точка отражается от всех этих плоскостей. Какую фигуру образуют все полученные точки?

6.12. Верно ли, что: а) наклонный параллелепипед, две грани которого перпендикулярны основанию, имеет плоскость симметрии; б) среди граней параллелепипеда, имеющего плоскость симметрии, есть прямоугольники; в) параллелепипед, имеющий две плоскости симметрии, является прямоугольным?

6.13. Как разрезать куб на три равные пирамиды?

Оцениваем

6.14. Прямоугольный треугольник с гипотенузой d вращается вокруг одного из катетов. При каком условии объем тела вращения будет наибольшим?

6.15. Периметр равнобедренного треугольника равен Р. Этот треугольник вращается вокруг основания. Какой из таких треугольников дает наибольший объем тела вращения?

Думаем

6.16. Центр куба отражается в плоскости каждой его грани. Докажите, что полученные точки являются вершинами октаэдра. Можно ли таким путем получить и другие правильные многогранники?

6.17. В данный шар вписан:

а) правильный тетраэдр;

б) куб. Грани этого многогранника продлили до пересечения со сферой. На какие фигуры разделилась сфера? На какие фигуры разделился шар? Сколько среди них равных друг другу?

Исследуем

6.18. Является ли движением пространства такое его преобразование, которое точке с координатами ставит в соответствие точку с координатами:

6.19. Многогранник имеет центр симметрии, центр описанного шара, центр вписанного шара и центр масс. Сколько из этих точек могут совпадать?

Поступаем в ВУЗ

6.20. Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверхность, образуемая вращением ее вокруг этого диаметра, делит объем шара на две равновеликие части. Определите угол между хордой и диаметром.

6.21. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, параллельной стороне треугольника и отстоящей от нее на расстоянии, равном половине высоты треугольника. Найдите объем тела вращения.

6.22. Треугольник вращается вокруг биссектрисы AD. Докажите, что площади поверхностей, описанных при этом сторонами АВ и АС, относятся как объемы, полученные вращением частей ABD и

6.23. Равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при основании а, вращается вокруг прямой, проходящей через один из концов основания перпендикулярно к нему. Найдите площадь поверхности получившегося при этом тела вращения.

6.24. Часть квадрата ABCD, оставшаяся после того, как из него вырезали четверть окружности с центтюм в вершине D и радиусами, равными стороне квадрата, вращается вокруг оси, проходящей через D параллельно диагонали АС. Найдите объем полученного тела вращения, если сторона квадрата равна а.

6.25. Площадь прямоугольной трапеции ABCD равна , длина высоты АВ равна h, величина острого угла ADC трапеции

равна а. На боковой стороне CD взята точка Е так, что . Найдите объем тела, полученного вращением четырехугольника ABED вокруг прямой АВ.

6.26. Найдите объем тела, полученного при вращении правильного шестиугольника вокруг его стороны, равной а

6.27. На окружности полукруга радиуса R даны точки А и В. Если N - один из концов диаметра, а О - центр окружности, то Определите площадь полной поверхности тела, образованного вращением кругового сектора АОВ вокруг диаметра.

6.28. Дан правильный тетраэдр ABCD. Каждая из его вершин симметрично отражена относительно плоскости противоположной ей грани, в результате чего получены соответственно точки KLMN. Найдите отношение объемов исходного и полученного тетраэдров.

6.29. В тетраэдре проведены отрезки, соединяющие его вершины с точками пересечения медиан противоположных граней. Все они пересекаются в точке О. Второй тетраэдр симметричен первому относительно точки О. Объем исходного тетраэдра равен V. Найдите объем общей части двух тетраэдров.

Ответ: 0,5V.

6.30. Сторона основания правильной призмы имеет длину а, а боковое ребро - длину 1,125а Точка Е - середина ребра АВ, а точка М - лежит на отрезке ЕС и ЕМ ЕС. Вторая призма симметрична призме относительно прямой Найдите объем общей части этих призм.

6.31. Дан правильный тетраэдр объема V. Второй тетраэдр получается из первого поворотом его на угол

а вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся ребер тетраэдра. Найдите объем общей части этих двух тетраэдров.

6.32. Куб с ребром а повернули на 90" вокруг прямой, соединяющей середины двух параллельных и не лежащих в одной грани ребер. Найдите объем общей части исходного куба и повернутого.

6.33. Правильная треугольная пирамида со стороной основания а повернута вокруг оси симметрии на угол 60. Определите объем общей части исходной и повернутой пирамид, если боковые грани - прямоугольные треугольники.

6.34. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Поворотом его на угол - вокруг высоты получается новый тетраэдр, вписанный в шар. Найдите объем части шара, внешней по отношению к обоим тетраэдрам.

6.35. Конус вращения вокруг оси - прямой, перпендикулярной его высоте и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения, если образующая конуса равна 5, а высота равна 4.

ЗАДАЧИ К § 26

Дополняем теорию

6.36. Докажите, что плоскость переходит в параллельную ей плоскость (если не в себя) в результате:

а) переноса; б) центральной симметрии.

Планируем

6.37. В кубе точка О - центр грани ABCD. Как вычислить угол между прямой В, О и:

а) прямой прямой плоскостью

г) плоскостью

6.38. Пусть PABCD - пирамида, в основании которой лежит ромб ABCD. РВЦАВС). Площадь грани РВС равна S. Через точку К - середину ребра AD - проводится сечение, параллельное плоскости РАВ. Как найти его площадь?

6.39. Каждая боковая грань правильного тетраэдра совершила поворот вокруг ребер основания на один и тот же угол во внешнюю сторону. При этом получился многогранник с шестью вершинами и равными ребрами. На какой угол повернулись грани?

Представляем

6.40. Найдутся ли два равных круговых сечения одной плоскостью у двух неравных конусов, если они стоят на одной плоскости по одну сторону от нее?

6.41. Две окружности центрально-симметричны и не лежат в одной плоскости. Верно ли, что они лежат на поверхности: а) одной сферы; б) одного цилиндра? А если эти окружности зеркально-симметричны?

6.42. В каком случае два равных:

а) шара; б) цилиндра; в) конуса центрально-симметричны? Зеркально симметричны?

6.43. Какими поворотами шар можно отобразить на себя?

6.44. Какими поворотами одна из данных фигур отображается на другую, если эти фигуры: а) две прямые; б) две плоскости; в) два равных шара? Найдется ли такой поворот, который при этом и вторую фигуру отобразит на первую?

6.45. Всегда ли, вращая выпуклую фигуру, мы получим выпуклое тело?

Думаем

6.46. Используя свойства переноса, докажите, что: а) два перпендикуляра к одной плоскости параллельны; б) две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны; в) если прямая параллельна прямой, перпендикулярной плоскости, то она перпендикулярна плоскости; г) линейные углы двугранного угла равны между собой.

6.47. Докажите, что объединение двух плоскостей является фигурой: а) центрально-симметричной; б) зеркально-симметричной.

6.48. Прямая, b получена из прямой а отражением в плоскости а. Эти прямые имеют общую точку. Докажите, что эта точка лежит в плоскости а.

6.49. В шаре радиусом R провели через центр две плоскости, образующие между собой угол . Как узнать, в каком отношении они разбили объем шара?

6.50. Через биссектрису угла провели плоскость. Докажите, что стороны угла образуют с ней равные углы.

Исследуем

6.51. Можно ли равными параллелепипедами заполнить все пространство? Можно ли это сделать другими равными многогранниками?

6.52. Будет ли сечение центрально-симметричного тела, проходящее через центр симметрии, центрально-симметрично?

6.53. Тело центрально-симметрично. Будет ли центральносимметрична его ортогональная проекция? Будет ли верно обратное?

6.54. Каждое из двух тел центрально-симметрично. Будет ли центрально-симметрично их: а) объединение; б) пересечение?

6.55. Центрально-симметричное тело разделили плоскостью. Одна его часть оказалась центрально-симметричной. Будет ли таковой и другая его часть?

6.56. Существует ли многогранник, имеющий любое наперед заданное число плоскостей симметрии?

ЗАДАЧИ К § 27

Дополняем теорию

6.57. Докажите, что композиция двух отражений в пересекающихся плоскостях является поворотом, а в двух параллельных плоскостях - параллельным переносом.

6.58. Нарисуйте фигуру, которая переходит в себя в результате: а) винта; б) зеркального поворота; в) скользящего отражения.

6.59. Пусть куб. В результате некоторого движения он переходит в другой куб. Нарисуйте этот другой куб, если движение таково: а) винт с осью поворота, проходящей через центры граней

вектором а угол поворота равен зеркальный поворот на с осью поворота , и отражением в плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через центр куба; в) скользящее отражение, где отражение происходит в плоскости, перпендикулярной диагонали куба и проходящей через центр куба, а вектор равен АС.

6.60. Пусть РАВС - правильный тетраэдр. В результате движения он переходит в другой тетраэдр. Нарисуйте этот другой тетраэдр, если движение таково:

а) винт с осью поворота центр основания), углом поворота 60" и вектором

б) зеркальный поворот с осью поворота PQ, углом поворота 60° и плоскостью отражения, перпендикулярной PQ и проходящей через середину высоты

в) скользящее отражение с плоскостью отражения, проходящей через РВ и К - середину АС, и вектором 0,5 КВ.

Представляем

6.61. Сохраняет ли ориентацию базиса: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.62. Имеет ли движение неподвижные точки, если это движение: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.63. Даны два равных равнобедренных треугольника. Какими движениями их можно совместить, если они имеют общую: а) вершину равных сторон; б) сторону основания; в) боковую сторону; г) медиану к основанию; д) среднюю линию боковых сторон?

в) одну из его высот на другую;

г) отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, на другой такой же отрезок;

д) сечение одной плоскостью симметрии на другое такое же;

е) сечение, являющееся квадратом, на другое такое же? Будет ли в таком движении и вторая фигура отображаться на первую?

6.66. В результате каких движений отображается на себя:

а) отрезок; б) прямая; в) круг; г) квадрат; д) правильный многоугольник; е) ромб; ж) плоскость; з) двугранный угол?

6.67. В результате каких движений отображается на себя тетраэдр РАВС, у которого: а) ; б)

6.68. Тело является объединением двух шаров, но не шаром. Какими движениями оно отображается на себя?

6.69. У четырехугольной пирамиды: а) все боковые ребра равны и противоположные плоские углы при вершине равны;

б) все плоские углы при вершине равны и противоположные боковые ребра равны. Какими движениями ее можно самосовместить?

6.70. Какими движениями отображается на себя антипризма?

6.71. Как разделить куб на: а) 8 равных кубов; б) 6 равных пирамид; в) 3 равные пирамиды; г) 4 равные треугольные призмы?

6.72. Как разделить прямую треугольную призму на 3 равновеликих тетраэдра? Есть ли среди них равные?

6.73. Как разделить параллелепипед на: а) 6 равновеликих пирамид; б) три равновеликие пирамиды? Есть ли среди них равные?

6.74. В шаре радиусом 1 провели три радиуса ОА, ОВ, ОС, из которых каждые два перпендикулярны. Какая часть объема шара ограничена четвертями больших кругов шара ОАВ, ОАС, ОВС и поверхностью? А какая часть поверхности?

Думаем

6.75. Две правильные четырехугольные пирамиды и имеют общее основание ABCD. Точка К - середина ребра , точка L - середина ребра точка М - точка пересечения медиан в грани , точка N - точка пересечения медиан в грани . Докажите, что:

д) расстояние от точки К до плоскости равно расстоянию от точки L до плоскости РХВС.

Исследуем

6.76. Возьмите композицию любых двух известных вам движений и выясните: а) меняет ли она ориентацию плоскости; б) имеет ли она неподвижные точки?

6.77. Сколько неподвижных точек может иметь каждое известное вам движение? Как они расположены? А сколько оно может иметь неподвижных прямых? Плоскостей?

6.78. Прямая b получается из прямой а некоторым движением. Установите расположение этих прямых между собой, если это движение: а) винт; б) зеркальный поворот; в) зеркальное отражение.

Переключаемся

6.79. На цилиндре радиусом R и высотой Н намотана проволока. Как вы узнаете ее длину?

6.80. Вам нужно спроектировать винтовую лестницу. Как вы будете действовать?

6.81. Можете ли вы объяснить принцип действия уголкового отражателя? Он составлен из трех попарно перпендикулярных зеркал.