ГПОУ «Усинский политехнический техникум»

Открытый урок по геометрии

Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.

Усинск, 2016 г.

Тип урока: Урок-семинар

Цели урока :

Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме, умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.

Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.

Развивать пространственное и логическое мышление.

Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи, задания группам, ПК, проектор.

План урока.

I. Организация учащихся.

Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и производится деление на 3 группы.

II. Постановка целей и задач урока.

Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия трав”.

Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы - квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.

Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.

Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В результате изучения этой темы вы должны:

знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к плоскости.

уметьформировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян Л.С.)

Преподаватель знакомит с целями урока.

III. Закрепление знаний и умений.

На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».

Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок оценивания.

Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.

Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)

Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые называются прямые , которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.)

Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)

Если угол между двумя прямыми 900 , как их называют? (Перпендикулярные прямые)

Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости? (Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно ли утверждение:

a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость? (неверно)

Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость?. Может ли прямая в быть перпендикулярной к плоскости? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она параллельна плоскости)

1. Задания для группы «Теоретики».

Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано:a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠ АМС=90о.

По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости.

Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а ‖ а1, а ⊥ α

Доказать, что а1 ⊥ α

Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.

Теорема: (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.

Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости

По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с исторической справкой «Провешивание прямой».

Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием прямой, который заключается в использовании всех - шестов, имеющих длину около 2 м., заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А и С закрывали веху В. Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес - это шнур, на конце которого укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно. Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение нашего курса и других дисциплин. Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых, веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны между собой.

Такой способ получил название провешивание прямой на местности. Слово "провешивание" - производное от слова "веха".

2. Задания для группы «Практики» .

Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч. “Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)

3. Задания для группы «Исследователи».

Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве. Проверку осуществить с помощью таблицы.

Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение прямых а и b:

Если b параллельна , то……

Если b перпендикулярна , то ……

Если b параллельна или принадлежит , то…..

Если b перпендикулярна , то……

Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .

Если параллельна , то……

Если перпендикулярна , то ……

Если параллельна а или а принадлежит , то…..

Если перпендикулярна , то……

Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.

По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по физике (межпредметная связь)

Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).

Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести mg? Каково ее направление?

Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее направление?

IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V . Домашнее задание.

П.15 - 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Прямая перпендикулярна к плоскости , когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ ». Если в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ , тогда запись имеет вид с ⊥ γ .

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 1

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10 - 11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.

Теорема 2

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Теорема 3

Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ .

Доказательство

При a → = (a x , a y , a z) являющимся вектором прямой a , при n → = (n x , n y , n z) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a → = (a x , a y , a z) и n → = (n x , n y , n z) . Отсюда получаем, что a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z , t является действительным числом.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

Пример 1

Доказать перпендикулярность заданной прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 с плоскостью x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Решение

Знаменатели канонических уравнений являются координатами направляющего вектора данной прямой. Отсюда имеем, что a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) является направляющим вектором прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

В общем уравнении плоскости коэффициенты перед переменными x , y , z являются координатами нормального вектора данной плоскости. Отсюда следует, что n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) - это нормальный вектор плоскости x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

2 - 1 = t · 1 2 = t · 2 (2 + 1) 2 = t · (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1 , тогда векторы a → и n → связаны выражением a → = (2 - 1) · n → .

Это и есть коллинеарность векторов. отсюда следует, что прямая x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 перпендикулярна плоскости x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 .

Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

Пример 2

Определить, перпендикулярны ли прямая y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 и плоскость x 1 2 + z - 1 2 = 1 .

Решение

Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

Из прямой y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 видно, что направляющий вектор a → - это произведение нормальных векторов плоскости y - 1 = 0 и x + 4 z - 2 = 0 .

Отсюда получаем, что a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

Координаты вектора a → = (4 , 0 , - 1) .

Уравнение плоскости в отрезках x 1 2 + z - 1 2 = 1 является эквивалентным уравнению плоскости 2 x - 2 z - 1 = 0 , нормальный вектор которой равен n → = (2 , 0 , - 2) .

Следует произвести проверку на коллинеарность векторов a → = (4 , 0 , - 1) и n → = (2 , 0 , - 2) .

Для этого запишем:

4 = t · 2 0 = t · 0 - 1 = t · (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Отсюда делаем вывод о том, что направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости. Значит, y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 - это прямая, не перпендикулярная к плоскости x 1 2 + z - 1 2 .

Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .

Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория

Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача

Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

• Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

• Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
• Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

Теорема о трёх перпендикулярах

Для того, чтобы прямая в пространстве была плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой былагоризонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Определение расстояния от точки до плоскости (рис. 19)

1.Из точки опустить перпендикуляр на плоскость (для этого в плоскости

провести h,f);

2.Найти точку пересечения прямой с плоскостью (см. рис.18);

3.Найти н.в. отрезка перпендикуляра (см. рис 7).

Второй раздел Метод замены плоскостей проекций

(к задачам 5, 6,7)

Данную геометрическую фигуру оставляют в системе плоскостей проекций неподвижной. Новые плоскости проекции устанавливают так, чтобы получаемые на них проекции обеспечивали рациональное решение рассматриваемой задачи. При этом каждая новая система плоскостей проекций должна быть системой ортогональной. После проецирования объектов на плоскости, они совмещаются в одну посредством вращения их вокруг общих прямых (осей проекций) каждой пары взаимно перпендикулярных плоскостей.

Так например, пусть в системе двух плоскостей П 1 и П 2 задана точка А. Дополним систему еще одной плоскостью П 4 (рис. 20), П 1 П 4 . Она имеет общую линию Х 14 с плоскостью П 1 . Строим проекцию А 4 на П 4 .

АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14.

На рис. 21, где плоскости П 1 , П 2 и П 4 приведены в совмещение, этот факт определен результатом А 1 А 4 Х 14 , а А 14 А 4 А 2 А 12.

Расстояние новой проекции точки до новой оси проекции (А 4 А 14) равно расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси (А 2 А 12).

Большое количество метрических задач начертательной геометрии решаются на основе следующих четырех задач:

1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (рис.22):

а) П 4 || АВ (ось Х 14 || А 1 В 1);

б) А 1 А 4 Х 14 ; В 1 В 4 Х 14 ;

в) А 4 А 14 =А 12 А 2 ;

В 4 В 14 =В 12 В 2 ;

А 4 В 4 - н.в.

2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую (рис.23):

а) П 4 || АВ (Х 14 || А 1 В 1);

А 1 А 4 Х 14 ;

В 1 В 4 Х 14 ;

А 14 А 4 =А 12 А 2 ;

В 14 В 4 =В 12 В 2 ;

А 4 В 4 - н.в.;

б) П 5 АВ (Х 45 А 4 В 4);

А 4 А 5 Х 45 ;

В 4 В 5 Х 45 ;

А 45 А 5 =В 45 В 5 =А 14 А 1 =В 14 В 1 ;

3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение (рис.24):

Плоскость можно привести в проецирующее положение, если одну прямую плоскости сделать проецирующей. В плоскости АВС проведем горизонталь (h 2 ,h 1), которую за одно преобразование можно сделать проецирующей. Проведем плоскость П 4 перпендикулярно горизонтали; на эту плоскость она спроецируется точкой, а плоскость треугольника - прямой линией.

4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (рис.25).

Плоскость сделать плоскостью уровня с помощью двух преобразований. Вначале плоскость надо сделать проецирующей (см. рис. 25), а затем провести П 5 || А 4 В 4 С 4 , получим А 5 В 5 С 5 - н.в.

Задача №5

Определить расстояние от точки С до прямой общего положения (рис.26).

Решение сводится ко 2-й основной задаче. Тогда расстояние по эпюре определяется как расстояние между двумя точками

А 5 В 5 D 5 и С 5.

Проекция С­ 4 D 4 || Х 45.

Задача №6

Определить расстояние от ()Dдо плоскости, заданной точками А,В,С, (рис. 27).

Задачу решают, используя 2-ю основную задачу. Расстояние (Е 4 D 4), от ()D 4 до прямой A 4 C 4 В 4 ,в которую спроецировалась плоскость АВС, является натуральной величиной отрезкаED.

Проекция D­ 1 E 1 || Х 14 ;

Е 2 Е Х12 =Е 4 Е Х14.

Построить самостоятельно D­ 1 E 1.

Построить самостоятельно D­ 2 E 2.

Задача №7

Определить натуральную величину треугольника АВС (см. решение 4-й основной задачи) (рис.25)