Гармоническое колебание точки имеет вид. Колебания

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где - некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

где , и - некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний - это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус - периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического ) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

где - длина нити, - ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с - это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний - 0,1 с -1 (ответ 1 ).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия - одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону - вторая, назад в положение равновесия - третья, из положения равновесия в начальную точку - четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода - две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).

Величина перемещения тела - расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).

По определению фаза колебаний - это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 - 3 .

Период - это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же - тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где - амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени
(задача 11.1.8 ). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10 ) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где - коэффициент жесткости пружины, - амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где - масса тела, - скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 4 ).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).

Часы - это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4 , необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где - такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела - (ответ 4 ).

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

\(x = A \cos \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)\) или \(x = A \sin \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0 \Bigl)\)

где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; \(\varphi_0\) - начальная фаза; \(\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0\) - фаза колебании в момент времени t . Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени t 0 = 0 колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то \(\varphi_0 = 0\), а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

\(x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.\)

Если колеблющаяся точка при t 0 = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

\(x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.\)

Величину V , обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

\(\nu = \frac{1}{T} \)(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с -1).

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

\(T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.\)

Величину \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\) , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 \(\pi\) с , называют циклической (круговой) частотой.

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая \(\varphi_0=0\), т.е. \(~x=A\cos \omega t.\)

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,\)

где \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)- амплитуда проекции скорости на ось х .

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по  гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на \(\frac{\pi}{2}\) (рис. 13.3, б).

Для выяснения зависимости ускорения a x (t) найдем производную по времени от проекции скорости:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

где \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) - амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей \(~x(t), \upsilon_x (t)\) и \(~a_x(t),\) если \(~x = A \sin \omega t\) при \(\varphi_0=0.\)

Учитывая, что \(A \cos \omega t = x\), формулу для ускорения можно записать

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Так, проекция ускорения - это вторая производная от смещения а x =х" " , то полученное соотношение можно записать в виде:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) или \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний - уравнением гармонического осциллятора.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 368-370.

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§1 Кинематика гармонического колебания

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов и в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A . Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω 0 . Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где φ 0 - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0

а в произвольный момент времени

(1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х , и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса

называется гармоническими .

Гармонические колебания являются периодическими , т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Если отрезок [ОД] находится з низшем положении по рисунку, т.е. точка Д совпадает с точкой Р , то его проекция на ось х равна нулю. Назовем такое положение отрезка [ОД] положением равновесия. Тогда можно сказать, что величина х описывает смещение колеблющейся точки из положения равновесия. Максимальное смещение от положения равновесия называется амплитудой колебания

Величина

которая стоит под знаком косинуса называется фазой. Фаза определяет смещение от положения равновесия в произвольный момент времени t . Фаза в начальный момент времени t = 0 , равная φ 0 называется начальной фазой.

Т

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Через промежуток времени, равный периоду Т , т.е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т , движение повторяется, и косинус принимает прежнее значение

т.к. период косинуса равен 2π , то, следовательно, ω 0 Т = 2π

таким образом, ω 0 - это число колебаний тела за 2π секунд. ω 0 - циклическая или круговая частота .

рисунок гармонического колебания

А - амплитуда, Т - период, х - смещение, t - время.

Скорость колеблющейся точки найдем, продифференцировав уравне-ние смещения х (t ) по времени

т.е. скорость v отличается по фазе от смещения х на π /2.

Ускорение - первая производная от скорости (вторая производная от смещения) по времени

т.е. ускорение а отличается от смещения по фазе на π.

Построим график х( t ) , у( t ) и а( t ) в одной смете координат (для простоты примем φ 0 = 0 и ω 0 = 1)

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Математический маятник

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.

Числа степеней свободы : это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε 0 > (энергия поступательного движения молекул): В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул : для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы где i - сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба¬тельных степеней свободы молекулы:i =i пост +i вращ +2i колеб В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий N A молекул: (1) Внутренняя энергия для произвольной массы m газа. где М - молярная масса, ν - количество вещества.