Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:

1. В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
2. Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Вводим систему координат с началом в точке A :

1. Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
2. Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:

1. A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
2. B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
3. C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
4. D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
5. H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .

Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

1. AS = AB = 1 по условию;
2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
3. Сторона AH - общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итого координаты точки S :

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .

Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

1. Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
2. Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.

Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:

Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:

Итак, координаты точки S :

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Когда мы встречаем слово «пирамида», то ассоциативная память уносит нас в Египет. Если говорить о ранних памятниках архитектуры, то можно утверждать, что количество их не менее нескольких сотен. Арабский писатель XIII века сказал: «Все на свете боится времени, а время боится пирамид». Пирамиды - это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи компьютерных технологий. Однако исследователям до сих пор не удалось найти ключи ко всем их загадкам. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Пирамиды представляют интерес для историков, физиков, биологов, медиков, философов и др. Они вызывают большой интерес и побуждает к более глубокому изучению их свойств как с математической, так и с других точек зрения (исторической, географической и др.).

Поэтому целью нашего исследования стало изучение свойств пирамиды с разных точек зрения. В качестве промежуточных целей мы определили: рассмотрение свойств пирамиды с точки зрения математики, изучение гипотез о существовании тайн и загадок пирамиды, а также возможностей её применения.

Объектом исследования в данной работе является пирамида.

Предмет исследования: особенности и свойства пирамиды.

Задачи исследования:

Изучить научно - популярную литературу по теме исследования.

Рассмотреть пирамиду как геометрическое тело.

Определить свойства и особенности пирамиды.

Найти материал, подтверждающий применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники.

Методы исследования: анализ, синтез, аналогия, мысленное моделирование.

Предполагаемым результатом работы должна стать структурированная информация о пирамиде, её свойствах и возможностях применения.

Этапы подготовки проекта :

Определение темы проекта, целей и задач.

Изучение и собирание материала.

Составление плана проекта.

Формулировка ожидаемого результата деятельности над проектом, в том числе усвоение нового материала, формирование знаний, умений и навыков в предметной деятельности.

Оформление результатов исследования.

Рефлексия

Пирамида как геометрическое тело

Рассмотрим истоки слова и термина «пирамида ». Сразу стоит отметить, что «пирамида» или «pyramid» (английский), «piramide» (французский, испанский и славянские языки), “pyramide” (немецкий) - это западный термин, берущий свой исток в древней Греции. В древнегреческом πύραμίς («пирамис » и мн. ч. Πύραμίδες «пирамидес ») имеет несколько значений. Древние греки именовали «пирамис » пшеничный пирог, который напоминал форму египетских сооружений. Позже это слово стало означать «монументальную структуру с квадратной площадью в основании и с наклонными сторонам, встречающимися на вершине. Этимологический словарь указывает, что греческое «пирамис» происходит из египетского «pimar». Первое письменное толкование слова «пирамида» встречается в Европе в 1555 г. и означает: «один из видов древних сооружений королей». После открытия пирамид в Мексике и с развитием наук в 18 веке, пирамида стала не просто древним памятников архитектуры, но и правильной геометрической фигурой с четырьмя симметричными сторонами (1716 г.). Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит а доказал Евдокс Книдский.

Первое определение принадлежит древнегреческому математику, автору дошедших до нас теоретических трактатов по математике, Евклиду. В XII томе своих «Начал» он определяет пирамиду как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: «Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник».

Существует определение французского математика Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде «Элементы геометрии» пирамиду определяет так: «Пирамида - телесная фигура образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания».

Современные словари трактуют термин «пирамида» следующим образом:

	Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину	Толковый словарь русского языка под ред. Д. Н. Ушакова
	Тело, ограниченное равными треугольниками, составленными вершинами в одну точку и образующими основаньями своими угольник	Толковый словарь В.И.Даля
	Многогранник, основание которого представляет собой многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной	Толковый словарь под ред. C. И. Ожегова и Н.Ю.Шведовой
	Многогранник, основание которого представляет многоугольник, а боковые грани - треугольники, имеющие общую вершину	Т. Ф. Ефремов. Новый толково-словообразовательный словарь русского языка.
	Многогранник, одна грань которого есть многоугольник, а другие грани - треугольники, имеющие общую вершину	Словарь иностранных слов
	Геометрическое тело, основанием которому служит многоугольник, а сторонами столько треугольников, сколько основание имеет сторон, сходящихся вершинами в одну точку.	Словарь иностранных слов русского языка
	Многогранник, одна грань которого есть какой либо плоский многоугольник, а все прочие грани суть треугольники, основания которых суть стороны основания П., а вершины сходятся в одной точке	Ф.А. Брокгауз, И.А. Ефрон. Энциклопедический словарь
	Многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину	Современный толковый словарь
	Многогранник, одной из граней которого служит многоугольник а остальные грани - треугольники с общей вершиной	Математический энциклопедический словарь

Анализируя определения пирамиды, можно заключить, что все источники имеют схожие формулировки:

Пирамида - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину . По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Многоугольник А 1 А 2 А 3 … Аn - основание пирамиды, а треугольники РА 1 А 2 , РА 2 А 3 , …, РАnА 1 - боковые грани пирамиды, Р - вершина пирамиды, отрезки РА 1 , РА 2 ,…, РАn - боковые ребра.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотойh пирамиды.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней. Sполн = S бок + S осн, где S бок - сумма площадей боковых граней.

Объём пирамиды находится по формуле: V=1/3S осн.h, где S осн. - площадь основания, h - высота.

К свойствам пирамиды относятся:

Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы; кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности; высоты боковых граней имеют равную длину; площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Пирамида называется правильной , если в её основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Боковые грани правильной пирамиды - равные, равнобедренные треугольники (рис.2а). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Площадь боковой грани правильной пирамиды выражается так: Sбок. =1/2P h, где Р - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды). Если пирамида пересечена плоскостью A’B’C’D’, параллельной основанию, то боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; в сечении получается многоугольник A’B’C’D’, подобный основанию; площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды её верхней части плоскостью, параллельной основанию (рис.2б). Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники ABCD и A`B`C`D`, боковые грани - трапеции. Высота усеченной пирамиды - расстояние между основаниями. Объем усеченной пирамиды находится по формуле: V=1/3 h (S + + S’), где S и S’- площади оснований ABCD и A’B’C’D’, h - высота.

Основания правильной усеченной n-угольной пирамиды - правильные n-угольники. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так: Sбок. = ½(P+P’)h, где P и P’- периметры оснований, h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды)

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. Сечение, проходящее через два несоседних боковых ребра пирамиды, называется диагональным сечением. Если сечение проходит через точку на боковом ребре и сторону основания, то его следом на плоскость основания пирамиды будет эта сторона. Сечение, проходящее через точку, лежащую на грани пирамиды, и заданный след сечения на плоскость основания, то построение надо проводить так: находят точку пересечения плоскости данной грани и следа сечения пирамиды и обозначают её; строят прямую проходящую через заданную точку и полученную точку пересечения; повторяют эти действия и для следующих граней.

Прямоугольнаяпирамида - это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию. В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды (рис.2в).

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр . (рис.2а)

Рассмотрим теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.

Сфера

Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамиды с пропорциями Золотого сечения . Как пользовались соотношениями золотого сечения при построении пирамид мы рассмотрим в следующем параграфе, а здесь же остановимся на определении золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения - это деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а:х = х:(а-х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями n/n+1= 0,618, где n - число Фибоначчи, имеющее номер n.

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг тоже имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618.

Таким образом, изучив научно - популярную литературу по проблеме исследования мы пришли к выводу, что пирамида - это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Мы рассмотрели элементы и свойства пирамиды, её виды и соотношение с пропорциями Золотого сечения.

2. Особенности пирамиды

Так в Большом энциклопедическом словаре написано, что пирамида - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называли гробницы древнеегипетских фараонов 3-го - 2-го тысячелетий до н. э., а так же постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса. Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы длины: «локоть» (466 мм), равнявшийся семи «ладоням» (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем «пальцам» (16,6 мм).

Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды, например, GF равна L = 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 «локтям». Полное соответствие 500 «локтям» будет, если длину «локтя» считать равной 0,4663 м. .

Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды? Дело в том, что пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10x10 м, а столетие назад она была равна 6x6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной. Оценивая высоту пирамиды, необходимо учитывать такой физический фактор, как осадка конструкции. За длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м 2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с первоначальной высотой. Первоначальную высоту пирамиды можно воссоздать, если найти основную геометрическую идею.

В 1837 г. Английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°51". Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a), равный 1,27306. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB, то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз! Дело в том, что если взять корень квадратный из золотой пропорции, то мы получим следующий результат = 1,272. Сравнивая эту величину с величиной tg a = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки между собой. Если же принять угол a = 51°50", то есть уменьшить его всего на одну угловую минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной. Следует отметить, что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50".

Эти измерения привели исследователей к следующей интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB = = 1,272.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ABC, в котором отношение катетов AC / CB = . Если теперь длины сторон прямоугольника ABC обозначить через x, y, z, а также учесть, что отношение y/x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена по формуле:

Если принять x = 1, y = , то:

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t::1, называется «золотым» прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной «геометрической идеей» пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить «проектную» высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

H = (L/2)/= 148,28 м.

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из «золотой» гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна S EFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса S D . Поскольку высота AB треугольника AEF равна t, то площадь боковой грани будет равна S D = t. Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды будет равна 4t, а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции . Это и есть главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса.

А также, при постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.

Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром, есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам - это число «Пи» = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2x148,208), мы получим 3,1416…, то есть число «Пи». Следовательно, пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи», играющего важную роль в математике.

Таким образом, наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π. Это, несомненно, тоже особенность. Хотя многие авторы считают, что это совпадение является случайным, поскольку дробь 14/ 11 является «хорошим приближением и для квадратного корня из отношения золотого сечения, и для отношения площадей квадрата и вписанного в него круга» .

Однако говорить здесь только о египетских пирамидах неправильно. Существуют не только египетские пирамиды, на Земле существует целая сеть пирамид. Основные монументы (египетские и мексиканские пирамиды, остров Пасхи и комплекс Стоунхендж в Англии) на первый взгляд бессистемно раскиданы по нашей планете. Но если в исследование включить тибетский комплекс пирамид, то появляется строгая математическая система их расположения на поверхности Земли. На фоне Гималайского хребта четко выделяется пирамидальное образование - гора Кайлас. Расположение г. Кайлас, египетских и мексиканских пирамид очень интересное, а именно - если соединить г. Кайлас с мексиканскими пирамидами, то соединяющая их линия выходит на остров Пасхи. Если соединить г. Кайлас с египетскими пирамидами, то линия их соединения опять выходит на остров Пасхи. Очертилась ровно одна четвертая земного шара. Если соединить мексиканские пирамиды и египетские, то мы увидим два равных треугольника. Если найти их площади, то их сумма равна одной четвертой площади земного шара.

Выявлена бесспорная связь между комплексом тибетских пирамид с другими сооружениями древности - египетскими и мексиканскими пирамидами, колоссами острова Пасхи и комплексом Стоунхендж в Англии. Высота главной пирамиды Тибета - горы Кайлас - составляет 6714 метров. Расстояние от Кайласа до Северного полюса равно 6714 километрам, расстояние от Кайласа до Стоунхенджа - 6714 километров . Если отложить на глобусе от Северного полюса эти 6714 километров, то мы попадем на так называемую Башню Дьявола, имеющую вид усеченной пирамиды. И, наконец, ровно 6714 километров от Стоунхенджа до Бермудскоготреугольника.

В результате этих исследований можно сделать вывод, что на Земле существует пирамидально-географическая система.

Таким образом, к особенностям можно отнести отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции; наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»; существование пирамидально-географической системы.

3. Другие свойства и применение пирамиды.

Рассмотрим практичное применение данной геометрической фигуры. Например, голограмма. Для начала рассмотрим, что такое голография. Гологра́фия — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей оптического электромагнитного излучения, особый фотографический метод, при котором с помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных объектов, в высшей степени похожие на реальные. Голограмма — продукт голографии, объемное изображение, создаваемое с помощью лазера, воспроизводящего изображение трехмерного объекта. С помощью правильной усеченной четырехгранной пирамиды можно воссоздать изображение - голограмму. Создается фото файл и правильная усеченная четырехгранная пирамида из полупрозрачного материла. От крайнего снизу пикселя и среднего относительно оси ординат делается небольшой отступ. Данная точка будет являться серединой стороны квадрата, образованного сечением. Фотография множиться, и ее копии располагаются так же относительно трех других сторон. На квадрат ставиться пирамида сечением вниз так, чтобы оно совпало с квадратом. Монитор генерирует световую волну, каждая из четырех одинаковых фотографий, находясь в плоскости, являющейся проекцией грани пирамиды, попадает на саму грань. В итоге на каждой из четырех граней мы имеем одинаковые изображения, а так как материал, из которого изготовлена пирамида, имеет свойство прозрачности, то волны как бы преломляются, встречаясь в центре. В итоге мы получаем ту же интерференционную картину стоячей волны, центральной осью, или же осью вращения которой служит высота правильной усеченной пирамиды. Такой способ работает и с видеоизображением, так как принцип действия остается неизменным.

Рассматривая частные случаи, можно заметить, что пирамида широко используется в повседневной жизни, даже в домашнем хозяйстве. Пирамидальная форма встречается часто, прежде всего, в природе: растения, кристаллы, молекула метана имеет форму правильной треугольной пирамиды - тетраэдра, элементарная ячейка кристалла алмаза тоже представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Пирамиды встречаются в домашних условиях, детских игрушках. Кнопки, клавиатуры компьютера часто являются подобиями четырехугольной усеченной пирамиды. Их можно увидеть в виде элементов зданий или самих архитектурных построек, как светопрозрачные конструкции крыш.

Рассмотрим ещё некоторые примеры использования термина «пирамида»

Экологические пирамиды — это графические модели (как правило, в виде треугольников), отражающие число особей (пирамида чисел), количество их биомассы (пирамида биомасс) или заключенной в них энергии (пирамида энергии) на каждом трофическом уровне и указывающие на понижение всех показателей с повышением трофического уровня

Информационная пирамида. Она отражает иерархию различных видов информации. Предоставление информации строится по следующей пирамидальной схеме: в вершине - основные показатели, по которым можно однозначно отследить темпы движения предприятия к выбранной цели. Если что-то не так, то можно перейти к среднему уровню пирамиды - обобщенным данным. Они проясняют картину по каждому показателю в отдельности или во взаимосвязи друг с другом. По этим данным можно определить возможное место сбоя или проблемы. За более полной информацией нужно обратиться к основанию пирамиды - детальное описание состояния всех процессов в числовом виде. Эти данные помогают выявить причину проблемы, с тем, чтобы ее можно было устранить и избежать ее повторения в дальнейшем.

Таксономия Блума. Таксономия Блума предлагает классификацию задач в виде пирамиды, устанавливаемых педагогами ученикам, и, соответственно, целей обучения. Она делит образовательные цели на три сферы: когнитивную, аффективную и психомоторную. Внутри каждой отдельной сферы для перехода на более высокий уровень необходим опыт предыдущих уровней, различаемых в данной сфере.

Финансовая пирамида - специфическое явление экономического развития. Название «пирамида» наглядно иллюстрирует ситуацию, когда люди «внизу» пирамиды отдают деньги малочисленной верхушке. При этом каждый новый участник платит, чтобы увеличить возможность своего продвижения наверх пирамиды

Пирамида потребностей Маслоу отражает одну из самых популярных и известных теорий мотивации — теорию иерархии потребностей . Потребности Маслоу распределил по мере возрастания, объяснив такое построение тем, что человек не может испытывать потребности высокого уровня, пока нуждается в более примитивных вещах. По мере удовлетворения низлежащих потребностей, все более актуальными становятся потребности более высокого уровня, но это вовсе не означает, что место предыдущей потребности занимает новая, только когда прежняя удовлетворена полностью.

Ещё один пример применения термина «пирамида» - это пирамида питания - схематическое изображение принципов здорового питания, разработанных диетологами. Продукты, составляющие основание пирамиды, должны употребляться в пищу как можно чаще, в то время, как находящиеся на вершине пирамиды продукты следует избегать или употреблять в ограниченных количествах.

Таким образом, всё вышесказанное показывает разнообразие использования пирамиды в нашей жизни. Возможно, пирамида имеет гораздо более высокую цель, и предназначена для чего-то большего, чем те практические способы её использования, которые сейчас открыты.

Заключение

С пирамидами мы постоянно встречаемся в нашей жизни - это древние Египетские пирамиды и игрушки, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп. За многие тысячелетия своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

В ходе исследования, мы определили, что пирамиды - довольно распространенное явление на всем земном шаре.

Мы изучили научно - популярную литературу по теме исследования, рассмотрели различные трактовки термина «пирамида», определили, что в геометрическом понимании пирамида - это многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Изучили виды пирамид (правильная, усеченная, прямоугольная), элементы (апофема, боковые грани, боковые ребра, вершина, высота, основание, диагональное сечение) и свойства геометрических пирамид при равенстве боковых ребер и при наклоне боковых граней к плоскости основания под одним углом. Рассмотрели теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами (сфера, конус цилиндр).

К особенностям пирамиды мы отнесли:

отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции;

наличие в размерах пирамиды золотого сечения - отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте - есть число, очень близкое по значению к числу π, т.е. пирамида Хеопса - единственный в своем роде памятник, который представляет собой материальное воплощение числа «Пи»;

существование пирамидально-географической системы.

Мы изучили современное применение данной геометрической фигуры. Рассмотрели, каким образом связаны пирамида и голограмма, обратили внимание на то, что пирамидальная форма встречается чаще всего в природе (растения, кристаллы, молекулы метана, строение решетки алмаза и т.д.). На протяжении исследования мы встречались с материалом, подтверждающим применение свойств пирамиды в различных областях науки и техники, в бытовой жизни людей, при анализе информации, в экономике и ещё во многих направлениях. И пришли к выводу, что возможно, пирамиды имеют гораздо более высокую цель, и предназначены для чего-то большего, чем те практические способы их использования, которые сейчас открыты.

Список литературы.

Ван дер Варден, Бартель Леендерт. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст]/ Б. Л. Ван дер Варден — КомКнига, 2007 г.

Волошинов А. В. Математика и искусство. [Текст]/ А. В. Волошинов - Москва: «Просвещение» 2000г.

Всемирная история (энциклопедия для детей). [Текст]/ - М.: “Аванта+”, 1993.

Галограмма. [Электронный ресурс] - https://hi-news.ru/tag/gologramma - статья в интернете

Геометрия [Текст]: Учеб. 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений Атанасян Л.С., В. Ф.Бутузов и др. - 22-е издание. - М.: Просвещение, 2013 г.

Коппенс Ф. Новая эра пирамид. [Текст]/ Ф. Коппенс - Смоленск: Русич, 2010 г.

Математический энциклопедический словарь. [Текст]/ А. М. Прохоров и др. - М.: Советская энциклопедия, 1988.

Мулдашев Э. Р. Мировая система пирамид и монументов древности спасла нас от конца света, но …[Текст]/ Э. Р. Мулдашев - М.: «АиФ-Принт»; М.: «ОЛМА-ПРЕСС»; СПб.: Издательский Дом «Нева»; 2003.

Перельман Я. И. Занимательная арифметика. [Текст]/ Я. И. Перельман- М.: Центрполиграф, 2017 г

Райхард Г. Пирамиды. [Текст]/ Ганс Райхард - М.: Слово, 1978 г.

Терра-Лексикон. Иллюстрированный энциклопедический словарь. [Текст]/ - М.: ТЕРРА, 1998.

Томпкинс П. Тайны великой пирамиды Хеопса. [Текст]/ Питер Томпкинс. - М.:«Центрополиграф»,2008 г.

Уваров В. Волшебные свойства пирамид. [Текст]/ В. Уваров -Лениздат,2006.

Шарыгин И.Ф.. Геометрия 10-11 класс. [Текст]/ И.Ф. Шарыгин:. - М: «Просвещение», 2000 г.

Яковенко М. Ключ к пониманию пирамиды.[Электронный ресурс] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html- статья в интернете

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,

где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,

S бок. = Ph / 2

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

S = S ocн. + S бок. .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:

V = 1 / 3 S ocн. Н.

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

1 / 2 (а + b n ) h

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды

S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .

Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то

S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Сечение, параллельное основанию пирамиды

Теорема. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Таким образом,

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$

Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$

Следовательно,

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$

Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.

Другие материалы

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
• боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
• боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
• высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
• основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
• кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых граней имеют равную длину;
• площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

Простейшая пирамида.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.